Pour des élèves de 5ème, travail interdisciplinaire en technologie et mathématiques.
Pré-requis :
- Technologie : bases du dessin technique
- Mathématiques : patrons de solides, aire latérale et aire totale d’un solide (cas du prisme droit et du cylindre de révolution), dessins à l’échelle
Le but est de réaliser un banc de tests afin de classer les matériaux selon leur propriété isolante. Deux capteurs de température seront utilisés : un sous le matériau là où la chaleur est émise et un à l’extérieur. Les mesures seront effectuées ensuite avec des thermistance (CTN ou LM35), une carte Arduino et le logiciel libre squeakbot pour relever les mesures et tracer la représentation graphique en temps réel. La comparaison de divers graphiques permet de classer les matériaux.
Séance 1 : Introduction : dessin technique et perspective
Objectifs : présenter le projet aux élèves et problématiser la séquence dans son ensemble : introduire la contrainte de minimisation des coûts et pertes liée à la fabrication des banc de test, réaliser un dessin technique du prototype dessin en perspective cavalière à une échelle donnée du prototype (prisme droit, cylindre de révolution)
On souhaite fabriquer une station d’expérimentation destinée à classer tout types de matériaux suivants leurs caractéristiques isolantes. Pour cela nous allons mesurer l’évolution de la température sous le matériau et la comparer avec l’évolution sur le matériau.
Le prototype sur la photo ci-contre n’est pas satisfaisant pour le cube intérieur (l’isolant choisi ici est de la laine de mouton).
Inconvénients :
- Étanchéité faible
- montage et fabrication longue et difficile
- trop de coupe de bois et donc de pertes
- inconvénients multipliés si l’on envisage de fabrique un grand nombre de banc de tests
Consigne : Que mettre à la place ?
Les élèves pensent assez vite à une boite cylindrique (en carton ou métal) type boite de conserve.
Consigne : À partir de mesures, le représenter en dessin technique à l’échelle et en perspective cavalière.
Séance 2 : Minimiser la quantité de matière : patrons
Un nouveau problème se pose. Il faut minimiser la quantité de matière utilisée pour fabriquer la boite centrale (économies de matériau, éviter le gaspillage…)
Objectifs :
- calculer l’aire latérale et l’aire totale d’un cylindre de révolution
- convertir des volumes en contenance
- voir que sur différentes construction faite dans la classe ces aires varient et qu’il devrait y avoir un minimum pour un volume donné fixé (celui qui économise le plus la matière).
- utiliser le tableur pour trouver les dimensions qui minimisent la perte pour un volume donné
Consigne : Réaliser le patron d’un cylindre de révolution de volume 450mL et calculer son aire latérale
La consigne étant volontairement ouverte, sur une classe de 28 élèves, on devrait obtenir 28 patrons différents. Le professeur met en évidence la valeur minimale de l’aire latérale.
Séance 3 : Minimiser la quantité de matière : tableur
Consigne : Sur tableur, quelles sont les dimensions qui minimisent l’aire latérale ?
Les élèves font et complètent une feuille de tableur LibreOffice.
De façon purement expérimentale, on s’aperçoit qu’il n’y a pas de solution ! L’aire latérale décroît (elle tend vers zéro, lorsque le rayon tend vers l’infini).
Il faut rajouter l’aire des deux couvercles ainsi que la colonne « Aire totale » :
Consigne : Sur tableur, quelles sont alors les dimensions qui minimisent l’aire totale ?
De façon expérimentale, on s’aperçoit que l’aire totale minimale est atteinte lorsque le diamètre est égal à la hauteur.
Devoir : À la maison relever les dimensions de diverses boites de conserve. On évitera les boites trop « exotiques » comme les boites de sardines ou celle qui sont spécifiques au type de produit. Les élèves doivent donner pour chaque boite : la hauteur, le diamètre et le rapport $\frac{h}{D}$.
Correction : on note au tableau toutes les valeurs de h et de D relevées par les élèves en éliminant les valeurs extrêmes. Un calcul de moyenne permet de voir que le ratio moyen n’est pas de 1comme vu expérimentalement mais de 1,1. Pourquoi ? Les explications sont données directement en classe. On pourra s’inspirer de ce qui suit.
Solution mathématique en première approximation
Exercice de niveau 1èreS : Une boite de volume V fixé est définie par sa hauteur h et son rayon R. Il s’agit ici de déterminer les dimensions qui minimisent la quantité de matière utilisée.
Comme , on doit avoir
La surface de métal nécessaire sera donc de qui est une fonction de .Il faut la minimiser. Sa dérivée est Elle s’annule pour donc
Solution mathématique dans le contexte industriel :
Beaucoup de pertes (réseau de carrés)
Moins de pertes (réseau d’héxagones)
Avec les élèves : une approche de la solution en cinquième
Objectif : arriver à la dimension d’une boite de conserve standard
Objectif pédagogique : lire et interpréter un graphique
Déroulement :
- Pour un même volume pour toute la classe, faire des patrons de boîtes de conserve. Les élèves sont par groupe de 3 ou 4. Donner 7/8 valeurs différentes de R et de h. C
- Calculer l’aire totale dans les 7 groupes et faire apparaître l’existence d’un minimum pour un volume donné.
- Idem mais en calcul littéral pour obtenir la formule
- Trouver la formule donnant et ( !!)
- Espérer arriver à ( !!!)
- Avec un tableur trouver le minimum de l’aire totale en faisant calculer différentes valeurs de R (incrémenter de 0,2)
- ET/OU avec etoys, faire tracer la représentation graphique et « lire » le minimum.
- Conclure que le diamètre doit être égal à la hauteur
- Les élèves vont récupérer des boites de conserve donc le diamètre est égal à la hauteur
- Au cour suivant, on s’aperçoit qu’il n’en existe pas ! Projection de la figure ci-dessus avec le réseau d’hexagones
Séance 4 : Modélisation 3D de la station (facultatif)
Modélisation informatique en 3D sur skechtup (ou blender)
Séance 5 : fabrication des stations
Réalisation concrète des cubes de test :
On prend des cartons quelconques, on les remplit d’isolant, on fait un trou aux dimensions de la boite de conserve dans laquelle est fixée une ampoule alimentée en 12V.
plaques de carton, isolant en vrac, boites de conserve, douilles vissables…
Séance 6 : Montage du circuit de mesure Arduino et image squeakbot associée
TP Arduino sur montage des deux thermistance (CTN)
Dessin dans etoys du schéma
Consigne : Dans squeakbot réaliser le montage
À partir d’une image vide et du logiciel Arduino, les élèves doivent :
uploader firmata sur la carte, mémoriser le port /dev/ttyUSB0 ou com0
dans squeakbot :
faire apparaître la carte arduino, la connecter et tester la connection (LED)
mettre les deux CTN sur les pins donnés
tracer un repère. On tracera simplement les axes avec l’outil dessin
tracer deux disques : « CTNdedans » et « CTNdehors »
scripter ces deux disques en abscisse et en ordonnée
tester le bon fonctionnement de l’image
Ressource : Vidéo de la représentation graphique avec squeakbot
Séance 6 : Expérimentations
Objectifs :
analyser graphiquement les propriétés d’isolation des matériaux
avec un tableur, convertir les valeurs en température (proportionnalité)
On donnera à tous les groupes une image correcte sauf s’ils sont arrivés à en faire une valide.
Consigne : Pratiquer les tests avec « carton », « plaque de métal », « béton » et « fibre de bois douce ». Noter les résultats dans un tableur toutes les minutes. Conclure à partir des représentations graphiques..
Pour la partie « tableur », les élèves notent les valeurs dans des onglets pour chaque matériau. Le reste des cellules contient les formules de conversion et elles sont vérouillées. Les élèves doivent donc saisir les valeurs renvoyées par la carte, les convertir en tension et la feuille de calcul fera le reste.